令 $W=\{\beta \in {\mathbb{R}}^3:{\alpha }^T\beta =0\}$。因为 $\alpha \ne 0$，方程 ${\alpha }^T\beta =0$ 的系数矩阵秩为 $1$，故 $\dim W=2$。取 $W$ 的一组基 ${\beta }_1,{\beta }_2$，题设中的“任意”保证 $A{\beta }_1={\beta }_1,A{\beta }_2={\beta }_2$，所以二者是属于特征值 $1$ 的线性无关特征向量。
又 $A\alpha =0$ 且 $\alpha \ne 0$，故 $\alpha$ 属于特征值 $0$。为确认三个向量共同构成一组基，设 $c\alpha +c_1{\beta }_1+c_2{\beta }_2=0$，左乘 ${\alpha }^T$，得 $c\Vert \alpha {\Vert }^2=0$，所以 $c=0$，再由 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 无关知 $c_1=c_2=0$。
令 $P=(\alpha ,{\beta }_1,{\beta }_2)$，则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,1,1)$。因此对每个正整数 $k$，

相似变换保持迹，所以 $\mathrm{tr}(A^3)=2$、$\mathrm{tr}(A^5)=2$。只有 A 项正确，选 A。这里不能把“对任意正交于 $\alpha$ 的向量”弱化为“存在一个向量”，否则无法确定二维特征空间。