仅有两个偏导数存在不能保证函数在该点可微，因此不能据此断言全微分存在；曲面法向量的结论也不能由题设直接保证。

令 $y=0$，截线可参数化为 $(x,0,f(x,0))$。在 $x=0$ 处其导向量为 $(1,0,f_x(0,0))=(1,0,3)$，故选 C。