由乘积求导法则，

因 $e^x>0$，两阶导数的符号分别由前面的二次多项式决定。
（1）对 $q(x)=x^2+2x+a$，判别式为 ${\Delta }_1=4-4a$。若 $a<1$，$q$ 有两个不同实根，且在每个根的两侧变号，故 $f$ 有两个极值点。若 $a>1$，$q>0$，故 $f$ 严格递增；若 $a=1$，$q=(x+1{)}^2$，只在 $-1$ 处取零且不变号，$f$ 仍严格递增。因此无极值点恰好要求 $a\ge 1$。
（2）对 $h(x)=x^2+4x+a+2$，判别式为 ${\Delta }_2=8-4a$。若 $a<2$，$h$ 有两个不同实根，并在两根处变号，因此曲线有拐点。若 $a=2$，$h=(x+2{)}^2\ge 0$，不变号；若 $a>2$，$h>0$，均没有拐点。因此有拐点恰好要求 $a<2$。
两条件取交集，得 $a\in [1,2)$，选 C。左端点 $a=1$ 的一阶导数有零点但不变号，应保留；右端点 $a=2$ 的二阶导数有零点但不变号，应排除。