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设
f
(
x
)
在
[
0
,
1
]
上具有二阶导数，且满足条件
∣
f
(
x
)
∣
≤
a
,
∣
f
′′
(
x
)
∣
≤
b
，其中
a
,
b
都是非负常数，
c
是
(
0
,
1
)
内任一点，证明
∣
f
′
(
c
)
∣
≤
2
a
+
2
b
。
答案
证明见解析
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由微分中值定理及
∣
f
′′
∣
≤
b
，对任意
x
∈
[
0
,
1
]
有
∣
f
′
(
x
)
−
f
′
(
c
)
∣
≤
b
∣
x
−
c
∣
。又
f
(
1
)
−
f
(
0
)
=
∫
0
1
f
′
(
x
)
d
x
，所以
f
′
(
c
)
=
f
(
1
)
−
f
(
0
)
−
∫
0
1
[
f
′
(
x
)
−
f
′
(
c
)]
d
x
.
于是
∣
f
′
(
c
)
∣
≤
∣
f
(
1
)
∣
+
∣
f
(
0
)
∣
+
b
∫
0
1
∣
x
−
c
∣
d
x
≤
2
a
+
2
b
[
c
2
+
(
1
−
c
)
2
]
≤
2
a
+
2
b
.
这就证明了结论。