记所围椭圆柱体为 $\Omega$。向量场 $(x^2,y^2,z)$ 光滑，整个边界取外侧，由高斯公式

区域分别关于平面 $x=0$、$y=0$ 对称，所以 $2x$、$2y$ 两项积分均为零，所求等于 $\Omega$ 的体积。底面 $\frac{x^2}{4}+y^2\le 1$ 的半轴为 $2,1$，面积为 $2\pi$；柱高为 $2$，故 $I=2\pi \cdot 2=4\pi$。
也可用伸缩换元 $x=2u,y=v$，体积元为 $2\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}z$，底面化为单位圆盘 $B$。同样由圆盘对称性，