定义域为 $x\ne 0$，包含 $x>0$、$x<0$ 两个开半平面，两侧的驻点都必须考虑。先化简为

对非零 $x$ 均有 $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，故 $f_x=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{(1+y^2)}{x^3}$、$f_y=\frac{y}{x^2}$。由 $f_y=0$ 得 $y=0$，再由 $f_x=0$ 得 $2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)=0$。所以驻点为 $(\frac{1}{2},0)$、$(-1,0)$。
二阶偏导为

在 $(\frac{1}{2},0)$ 处，$A=-8-16+48=24$、$B=0$、$C=4$，判别式 $AC-B^2=96>0$ 且 $A>0$，故为极小值点，极小值为 $2\ln (\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-2\ln 2$。
在 $(-1,0)$ 处，$A=-2+2+3=3$、$B=0$、$C=1$，判别式为 $3>0$ 且 $A>0$，也为极小值点，极小值为 $2$。
函数在定义域内光滑，全部驻点均为极小值点，故无极大值。两个局部极小值大小不同并不矛盾，它们位于不同连通分支；不能仅以函数无上界来排除局部极大值。