（1）先换元再求导。对卷积项令 $u=x-t$，有 $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$，积分限从 $0,x$ 变为 $x,0$，故

代回原式。因 $f$ 连续，右侧各积分可导，求导时乘积项产生的 $xf(x)$ 与末项的导数抵消，得到 $f(x)+{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=2ax$。取 $x=0$ 得 $f(0)=0$。此等式又说明 $f$ 可导，再次求导得 $f^{\prime }+f=2a$。

（2）解初值问题。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^x$，得 $({\mathrm{e}}^{x}f{)}^{\prime }=2a{\mathrm{e}}^x$。积分得 $f=2a+C{\mathrm{e}}^{-x}$，由 $f(0)=0$ 得 $C=-2a$，所以 $f(x)=2a(1-{\mathrm{e}}^{-x})$。

（3）核对原式。对该函数有

两项相加为 $a{x}^2$，且卷积项与第二式由上述换元相等，因此原积分方程满足。

函数在 $[0,1]$ 上的平均值为

由题设平均值为 $1$，得 $\frac{2a}{\mathrm{e}}=1$，故 $a=\frac{\mathrm{e}}{2}$。