令 $h(x)=\frac{\ln x}{x}$。则 $h^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0$ 对一切 $x>\mathrm{e}$ 成立，所以 $h$ 在 $(\mathrm{e},+\infty )$ 上严格递减。

由 $b>a>\mathrm{e}$ 得 $\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}$。乘以正数 $ab$，得到 $b\ln a>a\ln b$，即 $\ln a^b>\ln b^a$。指数函数严格递增，故 $a^b>b^a$。