1997 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设函数

f (u)

具有二阶连续导数，而

z = f (e^{x} sin y)

满足方程

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = e^{2 x} z

，求

f (u)

。

答案

$f (u) = C_{1} e^{u} + C_{2} e^{- u}$

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记 $u = e^{x} sin y$ ，并令 $v = e^{x} cos y$ 。链式求导得 $z_{xx} = f^{''} (u) u^{2} + f^{'} (u) u$ ， $z_{y y} = f^{''} (u) v^{2} - f^{'} (u) u$ 。

因 $u^{2} + v^{2} = e^{2 x}$ ，方程化为 $e^{2 x} f^{''} (u) = e^{2 x} f (u)$ ，即 $f^{''} = f$ 。而 $u$ 可取任意实数，故通解为 $f (u) = C_{1} e^{u} + C_{2} e^{- u}$ 。