2010 · 数学一 · 第 14 题 · 填空题

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{C}{k !}, k = 0, 1, 2, \dots

，则

E (X^{2}) =

。

答案

$2$

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由分布律归一性及指数函数展开， $1 = C k = 0 \sum \infty \frac{1}{k !} = C e$ ，故 $C = e^{- 1}$ 。于是 $P {X = k} = \frac{e ^{- 1} 1 ^{k}}{k !}$ ，即 $X$ 服从参数为 $1$ 的泊松分布。
泊松分布满足 $E (X) = Var (X) = 1$ ，所以

E (X^{2}) = Var (X) + [E (X)]^{2} = 1 + 1 = 2.

二阶矩不是期望的平方，不能遗漏方差项。

归一性仍给出 $C = e^{- 1}$ 。直接用 $k^{2} = k (k - 1) + k$ 拆项，得

E (X^{2}) = e^{- 1} k = 0 \sum \infty \frac{k ^{2}}{k !} = e^{- 1} (k = 2 \sum \infty \frac{1}{( k - 2 )!} + k = 1 \sum \infty \frac{1}{( k - 1 )!}) = e^{- 1} (e + e) = 2.

首个求和从 $2$ 起，是因为 $k = 0, 1$ 时 $k (k - 1) = 0$ ；第二个从 $1$ 起，避免写出负整数阶乘。