补区域用中心对称。原区域为 $D=\{(x,y):-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2},\sin x\le y\le 1\}$。它本身不关于坐标轴对称。取矩形 $R=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\times [-1,1]$，其在正弦曲线下方的部分记为 $E$，则 $D,E$ 的内部不交，合起来为 $R$。
作变换 $u=-x$、$v=-y$，条件 $-1\le y\le \sin x$ 化为 $\sin u\le v\le 1$，故 $E$ 与 $D$ 关于原点对称。又 $(-x)(-y{)}^5=x{y}^5$，因此该项在两区域上的积分相等，得

而 $|D|={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1-\sin x)\mathrm{d}x=\pi$，因为 $\sin x$ 是奇函数。故原积分为 $0-|D|=-\pi$，选 D。

先对 $y$ 积分。由 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$、$\sin x\le y\le 1$，得

其中 $x(1-{\sin }^{6}x)$ 与 $\sin x$ 均为奇函数，在对称区间上的积分为零，因此 $I=-{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x=-\pi$，选 D。