2001 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

已知抛物线

y = p x^{2} + q x (p < 0, q > 0)

在第一象限与直线

x + y = 5

相切，且此抛物线与

x

轴所围成的平面图形的面积为

S

。

(1) 问 $p, q$ 为何值时， $S$ 达到最大；
(2) 求 $S$ 的最大值。

答案

第 1 问

$p = - \frac{4}{5}, q = 3$

第 2 问

$S_{m a x} = \frac{225}{32}$

查看解析展开

第 1 问

联立抛物线与直线得到 $p x^{2} + (q + 1) x - 5 = 0$ 。相切要求判别式为零，故 $p = - \frac{( q + 1 ) ^{2}}{20}$ 。切点在第一象限还给出 $q > 1$ 。

抛物线与 $x$ 轴的两个交点为 $0$ 与 $- \frac{q}{p}$ ，所以

S = \int_{0}^{- \frac{q}{p}} (p x^{2} + q x) d x = \frac{q ^{3}}{6 p ^{2}} = \frac{200}{3} \frac{q ^{3}}{( q + 1 ) ^{4}}

。

对 $q > 1$ ，有 $\frac{S ^{'}}{S} = \frac{3}{q} - \frac{4}{q + 1} = \frac{3 - q}{q ( q + 1 )}$ ，故最大值在 $q = 3$ 处取得。此时 $p = - \frac{4}{5}$ 。

第 2 问

沿用第一问的面积函数及最优参数。将 $q = 3$ 代入 $S = \frac{200}{3} \frac{q ^{3}}{( q + 1 ) ^{4}}$ ，得到 $S_{m a x} = \frac{200}{3} \cdot \frac{27}{256} = \frac{225}{32}$ 。