在 $[0,2]$ 上，由 $f^{\prime }(x)=2(x-1)$，积分得 $f(x)=x^2-2x+C$。由于 $f$ 是奇函数且在 $0$ 处有定义，$f(0)=-f(0)$，所以 $f(0)=0$，从而 $C=0$。故 $f(x)=x^2-2x$（$0\le x\le 2$），特别地 $f(1)=-1$。
利用周期为 $4$，先将 $7$ 平移到 $-1$，再由奇性变为 $1$，得到

因此答案为 $1$。表达式 $x^2-2x$ 只在 $[0,2]$ 上使用，不能直接将 $x=7$ 代入。