无穷多解要求 $r(A)=r(A,b)<3$，因此首先有 $|A|=0$。对 $A$ 作第二行减第一行，得 $|A|=a^2-1$，所以候选值只有 $a=\pm 1$，还需检查相容性。
对增广矩阵先作 $r_2\leftarrow r_2-r_1$，再作 $r_3\leftarrow r_3-r_2$，得到

当 $a=-1$ 时，末行为 $(0,0,0,-2)$，即矛盾方程 $0=-2$，无解。
当 $a=1$ 时，末行全零，前两行独立，故 $r(A)=r(A,b)=2<3$，有无穷多解。
因此 $a=1$。此时方程组化为 $x_1-x_3=0,x_2=1$，通解为 $x=(0,1,0{)}^T+k(1,0,1{)}^T$，$k\in \mathbb{R}$。