2006 · 数学二 · 第 21 题 · 解答题

已知曲线

L

的方程

{x = t^{2} + 1, y = 4 t - t^{2}, q u a d t \geq 0

。

(1) 讨论 $L$ 的凹凸性；
(2) 过点 $(- 1, 0)$ 引 $L$ 的切线，求切点 $(x_{0}, y_{0})$ ，并写出切线的方程；
(3) 求此切线与 $L$ （对应 $x \leq x_{0}$ 的部分）及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积。

答案

第 1 问

在 t>0（即 x>1）时曲线向下弯，且 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{1}{t ^{3}} < 0$ ；端点 t=0 处为竖直切线。

第 2 问

$(x_{0}, y_{0}) = (2, 3)$ ，切线方程为 $y = x + 1$

第 3 问

$\frac{7}{3}$

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第 1 问

当 $t > 0$ 时， $\frac{d x}{d t} = 2 t \neq = 0$ ，故

\frac{d y}{d x} = \frac{4 - 2 t}{2 t} = \frac{2}{t} - 1.

再次对 $x$ 求导，

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{2}{t} - 1 )}{\frac{d x}{d t}} = - \frac{1}{t ^{3}} < 0.

所以在 $t > 0$ （即 $x > 1$ ）上曲线向下弯； $t = 0$ 是端点， $\frac{d x}{d t} = 0$ ，其切线为竖直线。

第 2 问

设切点参数为 $t > 0$ ，则切点为 $(t^{2} + 1, 4 t - t^{2})$ ，由第一问知切线斜率为 $\frac{2 - t}{t}$ 。从点 $(- 1, 0)$ 到切点的斜率为 $\frac{t ( 4 - t )}{t ^{2} + 2}$ 。

两斜率相等，故

\frac{2 - t}{t} = \frac{t ( 4 - t )}{t ^{2} + 2} .

化简得 $t^{2} + t - 2 = 0$ ，结合 $t \geq 0$ 且 $t = 0$ 时为不经过 $(- 1, 0)$ 的竖直切线，取 $t = 1$ 。于是切点为 $(2, 3)$ ，切线斜率为 $1$ ，切线方程为 $y - 3 = x - 2$ ，即 $y = x + 1$ 。

第 3 问

由第二问知切点横坐标为 $2$ ，切线为 $y = x + 1$ 。由 $x = t^{2} + 1 \leq 2$ 且 $t \geq 0$ ，曲线所取部分对应 $0 \leq t \leq 1$ ，从 $(1, 0)$ 到 $(2, 3)$ 。直线 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴交于 $(- 1, 0)$ ，所以所求面积为直线与 $x$ 轴围成的三角形面积减去曲线下方面积。

直线三角形的面积为 $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$ 。曲线下方面积用参数积分：

\int_{1}^{2} y d x = \int_{0}^{1} (4 t - t^{2}) 2 t d t = \frac{13}{6} .

故所求面积为

S = \frac{9}{2} - \frac{13}{6} = \frac{7}{3} .