2005 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设

f (x) = x sin x + cos x

，下列命题中正确的是（　　）。

A
$f (0)$ 是极大值， $f (\frac{π}{2})$ 是极小值
B
$f (0)$ 是极小值， $f (\frac{π}{2})$ 是极大值
正确答案
C
$f (0)$ 是极大值， $f (\frac{π}{2})$ 也是极大值
D
$f (0)$ 是极小值， $f (\frac{π}{2})$ 也是极小值

答案

解析

求导得 $f^{'} (x) = x cos x$ 、 $f^{''} (x) = cos x - x sin x$ 。

在 $x = 0$ 处 $f^{'} (0) = 0$ 、 $f^{''} (0) = 1 > 0$ ，故 $f (0)$ 是极小值；在 $x = \frac{π}{2}$ 处 $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ 、 $f^{''} (\frac{π}{2}) = - \frac{π}{2} < 0$ ，故 $f (\frac{π}{2})$ 是极大值。

因此正确选项为 B。