$a,b,c\text{ 两两不相等}$

至少两个相等。若$a=b\ne c$，基础解系为$\{(1,-1,0{)}^{\mathsf{T}}\}$；若$a=c\ne b$，基础解系为$\{(1,0,-1{)}^{\mathsf{T}}\}$；若$b=c\ne a$，基础解系为$\{(0,1,-1{)}^{\mathsf{T}}\}$；若$a=b=c$，基础解系可取$\{(1,-1,0{)}^{\mathsf{T}},(1,0,-1{)}^{\mathsf{T}}\}$。

系数矩阵的行列式为

方程组仅有零解当且仅当该行列式非零，即 $a,b,c$ 两两不相等。

齐次方程组有无穷多组解当且仅当第一问的系数行列式为零，即 $a,b,c$ 中至少两个相等。

若 $a=b\ne c$，由前两式可得 $x_3=0$、$x_1+x_2=0$，全部解为 $t(1,-1,0{)}^{\mathsf{T}}$。同理，若 $a=c\ne b$，全部解为 $t(1,0,-1{)}^{\mathsf{T}}$；若 $b=c\ne a$，全部解为 $t(0,1,-1{)}^{\mathsf{T}}$。

若 $a=b=c$，三个方程都等价于 $x_1+x_2+x_3=0$，全部解为

各情形中所列非零向量即相应基础解系。