1998 · 数学二 · 第 11 题 · 解答题

设

f (x) = (1 + x)^{\frac{x}{tan ( x - \frac{π}{4} )}}

，考察区间

(0, 2 π)

。

(1) 求函数 $f (x)$ 在该区间内的间断点；
(2) 判断各间断点的类型。

答案

第 1 问

间断点为 $\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

第 2 问

$\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$ 为无穷间断点； $\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ 为可去间断点。

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第 1 问

由于 $x \in (0, 2 π)$ ，底数 $1 + x > 0$ 。原式可能无定义之处来自 $tan (x - \frac{π}{4}) = 0$ 或正切函数本身无定义。

$tan (x - \frac{π}{4}) = 0$ 给出 $x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$ ； $tan (x - \frac{π}{4})$ 无定义给出 $x = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ 。其余点由初等函数复合的连续性可知均连续。

第 2 问

在定义域内写成

f (x) = exp (x ln (1 + x) cot (x - \frac{π}{4})) .

取第一问所得间断点 $x_{0} = \frac{π}{4}$ 或 $\frac{5 π}{4}$ 。当 $x \to x_{0}$ 时， $cot (x - x_{0}) \sim \frac{1}{( x - x _{0} )}$ ，而 $x ln (1 + x) > 0$ 。故左极限为 $0$ ，右极限为 $+ \infty$ ，这两点是第二类中的无穷间断点。

当 $x$ 趋于 $\frac{3 π}{4}$ 或 $\frac{7 π}{4}$ 时， $cot (x - \frac{π}{4}) \to 0$ ，从而指数趋于 $0$ ，函数极限为 $1$ 。原式在这些点无定义，故它们是可去间断点。