区域内部有

唯一驻点为 $(2,1)$。在该点 Hessian 的两个顺序判别量满足 $f_{xx}=-6<0$、$f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2=32>0$，故 $(2,1)$ 是严格相对局部极大点，极大值为 $4$。

在边界 $x=0$ 上恒有 $f=0$。若 $0\le y_0<4$，则在 $(0,y_0)$ 的充分小的区域内邻域中 $4-x-y>0$，所以 $f\ge 0$，这些点为相对局部极小点；若 $4<y_0\le 6$，则邻域内 $4-x-y<0$，所以 $f\le 0$，这些点为相对局部极大点。$(0,4)$ 两侧变号，不是极值点。

同理，在边界 $y=0$ 上，$(x,0)$ 对 $0\le x<4$ 为相对局部极小点，对 $4<x\le 6$ 为相对局部极大点，而 $(4,0)$ 不是极值点。

在斜边 $x+y=6$ 上令 $y=6-x$，则 $h(x)=-2x^2(6-x)$。其内部唯一驻点 $x=4$ 给出 $(4,2)$。沿斜边该点为极小点，向区域内部移动又使因子 $4-x-y$ 增大，故 $(4,2)$ 是严格相对局部极小点，极小值为 $-64$。除两个已计入坐标轴的端点外，斜边无其他相对局部极值。

内部驻点 $(2,1)$ 处 $f=4$；两条坐标轴边界上 $f=0$。斜边上 $f=-2x^2(6-x)\le 0$。因此闭区域上的最大值为 $4$，在 $(2,1)$ 处取得。

由第一问，内部唯一驻点的函数值为 $4$，两条坐标轴边上的函数值均为 $0$，只需再比较斜边上的候选值。负值只可能出现在 $x+y>4$ 的部分。斜边函数 $h(x)=-2x^2(6-x)$ 满足 $h^{\prime }(x)=6x(x-4)$，比较 $x=0,4,6$ 得 $h(0)=h(6)=0$、$h(4)=-64$。故闭区域上的最小值为 $-64$，在 $(4,2)$ 处取得。