1990 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

一电子仪器由两个部件构成，以

X

和

Y

分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）。已知

X

和

Y

的联合分布函数为

F (x, y) = {1 - e^{- 0.5 x} - e^{- 0.5 y} + e^{- 0.5 (x + y)}, 0, x \geq 0, y \geq 0 其他

。

答案

相互独立

$α = e^{- 0.1}$

查看解析展开

边缘分布函数为

F_{X} (x) = 1 - e^{- 0.5 x}, F_{Y} (y) = 1 - e^{- 0.5 y}

（分别在 $x \geq 0, y \geq 0$ 时成立；负半轴上为 0）。

当 $x, y \geq 0$ 时，

F (x, y) = (1 - e^{- 0.5 x}) (1 - e^{- 0.5 y}) = F_{X} (x) F_{Y} (y),

其余情形两边也同为 0。因此 $X, Y$ 相互独立。

由第一问求得的边缘分布，寿命单位为千小时，故 100 小时等于 $0.1$ 千小时。每个部件寿命超过 $0.1$ 的概率为 $e^{- 0.5 \times 0.1} = e^{- 0.05}$ 。

由第一问证明的独立性，

α = P (X > 0.1, Y > 0.1) = e^{- 0.05} e^{- 0.05} = e^{- 0.1} .