由 $f(1,1)=1$，$f_x=3x^2-2(x+y)$，$f_y=3y^2-2(x+y)$，得 $f_x(1,1)=f_y(1,1)=-1$。故切平面为 $z-1=-(x-1)-(y-1)$，即 $T:x+y+z=3$。

平面 $x+y+z=3$ 与坐标面围成第一卦限中的四面体，其投影为 $D=\{(x,y):x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 3\}$。$D$ 有界闭，$f$ 连续，最值必在内部驻点或边界上取得。
（1）内部驻点满足

相减得 $x^2=y^2$。内部 $x,y>0$，故 $x=y$，再代入得 $x(3x-4)=0$，唯一内部驻点为 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$，其函数值为

分支 $y=-x$ 只给出原点，属于边界。
（2）在边 $y=0$ 上，$g_1(x)=x^3-x^2+3$，$0\le x\le 3$，且 $g_1^{\prime }(x)=x(3x-2)$。边内部驻点 $x=\frac{2}{3}$，函数值为 $\frac{8}{27}-\frac{4}{9}+3=\frac{77}{27}$。由对称性，边 $x=0$ 的内部驻点为 $(0,\frac{2}{3})$，函数值也为 $\frac{77}{27}$。
在边 $x+y=3$ 上，令 $g_2(x)=f(x,3-x)=x^3+(3-x{)}^3-6$，则 $g_2^{\prime }(x)=9(2x-3)$。边内部驻点为 $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，函数值为 $\frac{27}{4}-6=\frac{3}{4}$。
（3）三个顶点的函数值为 $f(0,0)=3$，$f(3,0)=f(0,3)=21$。比较全部候选值，$\frac{17}{27}<\frac{3}{4}<\frac{77}{27}<3<21$，故最小值为 $\frac{17}{27}$，在 $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$ 处取得；最大值为 $21$，在 $(3,0),(0,3)$ 处取得。