2003 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

已知函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

的某个邻域内连续，且

x \to 0, y \to 0 lim \frac{f ( x , y ) - x y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = 1

，则（　　）。

答案

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由连续性及所给极限， $f (0, 0) = 0$ ，且可写成 $f (x, y) = x y + (x^{2} + y^{2})^{2} (1 + o (1))$ 。

沿 $y = x$ 有 $f (x, x) = x^{2} + 4 x^{4} (1 + o (1)) > 0$ ；沿 $y = - x$ 有 $f (x, - x) = - x^{2} + 4 x^{4} (1 + o (1)) < 0$ （当 $x \neq = 0$ 充分小时）。

原点附近同时存在函数值大于和小于 $f (0, 0)$ 的点，因此原点不是极值点，选 A。