2017 · 数学三 · 第 9 题 · 填空题

返回真题库

\int_{- π}^{π} (sin^{3} x + π^{2} - x^{2}) d x =

。

答案

$\frac{π ^{3}}{2}$

查看解析展开

$sin^{3} x$ 在 $[- π, π]$ 上连续且为奇函数，故 $\int_{- π}^{π} sin^{3} x d x = 0$ 。
令 $y = π^{2} - x^{2}$ ，则 $y \geq 0$ 且 $x^{2} + y^{2} = π^{2}$ ，其图像是半径为 $π$ 的上半圆。由于被积函数非负，根式部分的积分等于半圆面积，故

I = 0 + \int_{- π}^{π} π^{2} - x^{2} d x = \frac{1}{2} π \cdot π^{2} = \frac{π ^{3}}{2} .

奇函数项积分为零。对根式部分令 $x = π sin t$ ，取 $t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，此时 $cos t \geq 0$ ，故 $π^{2} - x^{2} = π cos t$ 、 $d x = π cos t d t$ 。于是

I = π^{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} t d t = π^{2} [\frac{t}{2} + \frac{sin 2 t}{4}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π ^{3}}{2} .