当 $x\ne 0$ 时，令 $u=tx$，原方程化为

即

在 $x\ne 0$ 处，由前一步 $f(x)=x^{-1}{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u-x\sin x$，右端可导，故 $f$ 可导。对 $x\ne 0$ 求导，得

所以 $f^{\prime }(x)=-2\sin x-x\cos x$。积分得到

正、负半轴先分别得到积分常数；由于 $f$ 在 $0$ 处连续，两侧极限都是常数加 $1$，所以两常数相同。

将该函数直接代回，有

等式在 $x=0$ 也成立，故任意实常数 $C$ 都给出连续解。