两项分别对应 $-1\le x\le 0$、$-x\le y\le 2-x^2$，以及 $0\le x\le 1$、$x\le y\le 2-x^2$。它们的公共部分只有零面积的线段，合并为

下边界为 $y=|x|$，上边界为 $y=2-x^2$，交点横坐标由 $|x|=2-x^2$ 得 $x=\pm 1$。区域关于 $y$ 轴对称，而 $xy$ 关于 $x$ 为奇函数，所以 ${\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，原式等于区域面积：

故选 C。若只计算 $x\ge 0$ 的半区而漏乘 $2$，会得到选项 D 的 $\frac{7}{6}$。