1994 · 数学一 · 第 3 题 · 填空题

设

u = e^{- x} sin \frac{x}{y}

，则

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

在点

(2, \frac{1}{π})

处的值为。

答案

$π^{2} e^{- 2}$

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先对 $y$ 求偏导： $u_{y} = - \frac{x e ^{- x}}{y ^{2}} cos \frac{x}{y}$ 。

再对 $x$ 求偏导，得

u_{x y} = \frac{e ^{- x}}{y ^{2}} [(x - 1) cos \frac{x}{y} + \frac{x}{y} sin \frac{x}{y}] .

代入 $x = 2$ 、 $y = \frac{1}{π}$ ，此时 $\frac{x}{y} = 2 π$ ，故所求值为 $π^{2} e^{- 2}$ 。