因为 $X$ 在 $(1,2)$ 上均匀分布，故 $f_X(x)=1$（$1<x<2$）。变换 $y={\mathrm{e}}^{2x}$ 严格增加，其值域为 $({\mathrm{e}}^2,{\mathrm{e}}^4)$。

反函数为 $x=\frac{1}{2}\ln y$，且 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{(2y)}$。因此在值域内 $f_Y(y)=f_X(\frac{1}{2}\ln y)|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}|=\frac{1}{(2y)}$，值域外为 $0$。