1996 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{g ( x ) - e ^{- x}}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0

，其中

g (x)

有二阶连续导数，且

g (0) = 1, g^{'} (0) = - 1

。完成下列各问：

答案

$f^{'} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x [ g ^{'} ( x ) + e ^{- x} ] - g ( x ) + e ^{- x}}{x ^{2}}, \frac{g ^{''} ( 0 ) - 1}{2}, x \neq = 0 x = 0$

在 $(- \infty, + \infty)$ 上连续

查看解析展开

当 $x \neq = 0$ 时用商法则，

f^{'} (x) = \frac{x [ g ^{'} ( x ) + e ^{- x} ] - g ( x ) + e ^{- x}}{x ^{2}} .

令 $h (x) = g (x) - e^{- x}$ 。由 $h (0) = h^{'} (0) = 0$ 及二阶展开， $h (x) = \frac{1}{2} h^{''} (0) x^{2} + o (x^{2})$ 。故

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0 lim \frac{h ( x )}{x ^{2}} = \frac{g ^{''} ( 0 ) - 1}{2} .

沿用第一问的 $h (x) = g (x) - e^{- x}$ 及其在零点的展开式。在 $x \neq = 0$ 处，由 $g$ 有二阶连续导数可知 $f^{'}$ 连续。

又有 $h^{'} (x) = h^{''} (0) x + o (x)$ ，所以

x \to 0 lim f^{'} (x) = x \to 0 lim \frac{x h ^{'} ( x ) - h ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2} h^{''} (0) = f^{'} (0) .

因而 $f^{'}$ 在整个实轴上连续。