1998 · 数学二 · 第 6 题 · 选择题

设数列

x_{n}

与

y_{n}

满足

n \to \infty lim x_{n} y_{n} = 0

，则下列断言正确的是（　　）。

答案

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若 $\frac{1}{x _{n}} \to 0$ ，则

y_{n} = (x_{n} y_{n}) \frac{1}{x _{n}} \to 0,

因而 D 正确。

A 不成立：取 $x_{n} = n$ ， $y_{n} = 0$ ，则 $x_{n} y_{n} = 0$ ，但 $y_{n}$ 收敛。

B 不成立：令 $x_{2 k} = k, x_{2 k - 1} = 0$ ， $y_{2 k} = 0, y_{2 k - 1} = k$ ，则乘积恒为零，而 $x_{n}, y_{n}$ 都无界。C 不成立：取 $x_{n} = 0, y_{n} = n$ 。