$P(U=0,V=0)=\frac{1}{4},P(U=0,V=1)=0,P(U=1,V=0)=\frac{1}{4},P(U=1,V=1)=\frac{1}{2}$

$r=\frac{1}{\sqrt{3}}$

矩形 $G$ 的面积为 $2$，故任一子区域的概率等于其面积的一半。由于 $x\le y$ 蕴含 $x\le 2y$，事件 $U=0,V=1$ 为空。

事件 $U=0,V=0$ 对应 $0\le x\le y$，面积为 ${\int }_0^{1}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}$，概率为 $\frac{1}{4}$。

事件 $U=1,V=0$ 对应 $y<x\le 2y$，面积为 ${\int }_0^{1}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}$，概率为 $\frac{1}{4}$。剩余事件 $U=1,V=1$ 的概率为 $1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

由第一问的联合分布，$E(U)=P(U=1)=\frac{3}{4}$、$E(V)=P(V=1)=\frac{1}{2}$、$E(UV)=P(U=1,V=1)=\frac{1}{2}$。

所以 $\mathrm{Cov}(U,V)=\frac{1}{2}-(\frac{3}{4})(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}$，且 $\mathrm{Var}(U)=\frac{3}{16}$、$\mathrm{Var}(V)=\frac{1}{4}$。

因此 $r=\frac{\frac{1}{8}}{\sqrt{(\frac{3}{16})(\frac{1}{4})}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。两方差均非零，相关系数有定义。