记 $F(x,y)=x^3+y^3-3x+3y-2$。对每个固定的 $x$，$F_y=3y^2+3>0$，且 $y\to \pm \infty$ 时 $F\to \pm \infty$，故由连续性与严格单调性，存在唯一实数 $y$ 使 $F(x,y)=0$。再由 $F$ 光滑及 $F_y\ne 0$，该隐函数处处光滑。
对原方程求导，得 $3x^2+3y^2{y}^{\prime }-3+3y^{\prime }=0$，整理为

分母恒正，故驻点仅有 $x=\pm 1$。当 $x=1$ 时，原方程化为 $(y-1)(y^2+y+4)=0$，二次因子恒正，故 $y(1)=1$；当 $x=-1$ 时，原方程化为 $y(y^2+3)=0$，故 $y(-1)=0$。
在 $(-\infty ,-1)$、$(-1,1)$、$(1,+\infty )$ 上，$y^{\prime }$ 的符号依次为负、正、负。因此 $x=-1$ 处取极小值 $0$，$x=1$ 处取极大值 $1$。全局存在性来自前述值域与单调性论证，不能仅凭 $F_y\ne 0$ 推出。

由 $F_y=3y^2+3>0$ 及关于 $y$ 的两端极限可知每个 $x$ 对应唯一的 $y$，隐函数定理保证其光滑。一次求导得 $(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2$，驻点为 $(-1,0)$、$(1,1)$。再对该等式求导：

在驻点处 $y^{\prime }=0$，故 $y^{\prime \prime }(-1)=2>0$、$y^{\prime \prime }(1)=-1<0$。因此极小值为 $y(-1)=0$，极大值为 $y(1)=1$。