设 $A\xi =\lambda \xi$，其中 $\xi \ne 0$。由 $A^2+A=O$，有 $0=(A^2+A)\xi =({\lambda }^2+\lambda )\xi$，故 $\lambda (\lambda +1)=0$，每个特征值只能是 $0$ 或 $-1$。
$A$ 是四阶实对称矩阵，必可正交相似对角化，设其对角形为 $\Lambda$。相似变换保持秩，所以 $r(\Lambda )=r(A)=3$，恰有三个非零对角元，而这些非零元只能等于 $-1$。因此

选 D。其余三项都含有不可能出现的特征值 $1$。多项式方程只给出特征值的候选范围，重数还须由秩确定。