2016 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

（1）利用已知解降阶。对 $y_{2} = u e^{x}$ 求导，得 $y_{2}^{'} = (u^{'} + u) e^{x}$ 、 $y_{2}^{''} = (u^{''} + 2 u^{'} + u) e^{x}$ 。代入原方程，约去非零因子 $e^{x}$ ，合并各项：

0 = (2 x - 1) (u^{''} + 2 u^{'} + u) - (2 x + 1) (u^{'} + u) + 2 u = (2 x - 1) u^{''} + (2 x - 3) u^{'} .

其中 $u$ 的系数为零，正是因为 $e^{x}$ 已是原方程的解。

（2）求出 $u$ 。令 $p = u^{'}$ ，在 $x \neq = \frac{1}{2}$ 的区间上有 $(2 x - 1) p^{'} + (2 x - 3) p = 0$ 。对非零解分离变量，并利用 $\frac{( 2 x - 3 )}{( 2 x - 1 )} = 1 - \frac{2}{( 2 x - 1 )}$ ，得

ln ∣ p ∣ = - \int (1 - \frac{2}{2 x - 1}) d x = - x + ln ∣2 x - 1∣ + C .

因此 $p = C_{1} (2 x - 1) e^{- x}$ ；令 $C_{1} = 0$ 也包括零解。分部积分得到

\int (2 x - 1) e^{- x} d x = - (2 x - 1) e^{- x} - 2 e^{- x} = - (2 x + 1) e^{- x} + C,

故 $u = - C_{1} (2 x + 1) e^{- x} + C_{2}$ 。两个给定点均在 $x < \frac{1}{2}$ ，代入条件，得 $- C_{1} + C_{2} = - 1$ 、 $C_{1} e + C_{2} = e$ ，所以 $C_{1} = 1$ 、 $C_{2} = 0$ ，即 $u (x) = - (2 x + 1) e^{- x}$ 。

（3）说明退化点的延拓。原方程在 $x = \frac{1}{2}$ 处最高阶系数为零，不能直接在该点除以 $2 x - 1$ 。若解跨过此点，左右的 $u^{'}$ 具有形式 $A_{\pm} (2 x - 1) e^{- x}$ ，均趋于零；因 $u$ 二阶可导， $u^{'}$ 在此点的左右导数必须一致，即 $2 A_{-} e^{- \frac{1}{2}} = 2 A_{+} e^{- \frac{1}{2}}$ ，故 $A_{-} = A_{+}$ 。再由 $u$ 连续可知两个加性常数也相等。因此上述解跨点时仍唯一按同一公式延拓，代入原式在该点也成立。

（4）写出通解。由 $y_{2} = u e^{x} = - (2 x + 1)$ ，两个解 $e^{x}$ 和 $2 x + 1$ 线性无关。在不含退化点的区间上，它们的朗斯基行列式为 $(1 - 2 x) e^{x} \neq = 0$ ，构成基本解组，通解为 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} (2 x + 1)$ 。要求跨过 $x = \frac{1}{2}$ 二阶可导时，由上一段拼接论证仍为此通解， $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数。

答案