2018 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

设

M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

，

N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e ^{x}} d x

，

K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + cos x) d x

，则（　　）。

A
$M > N > K$
B
$M > K > N$
C
$K > M > N$
正确答案
D
$K > N > M$

答案

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记 $a = \frac{π}{2}$ 。先利用奇偶性计算 $M$ ：

\frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 + x ^{2}} = 1 + \frac{2 x}{1 + x ^{2}},

其中第二项为奇函数，所以 $M = \int_{- a}^{a} 1 d x = π$ 。
根式 $cos x$ 在 $[- a, a]$ 连续非负，在内部严格为正，故 $K = π + \int_{- a}^{a} cos x d x > π = M$ 。
再比较 $N$ 。将负半区间换元并入正半区间，得到

N = \int_{0}^{a} g (x) d x, g (x) = (1 + x) e^{- x} + (1 - x) e^{x} .

有 $g (0) = 2$ ，且 $g^{'} (x) = - x (e^{- x} + e^{x}) < 0$ （ $x > 0$ ）。因此 $g (x) < 2$ （ $0 < x \leq a$ ），由严格积分比较， $N < \int_{0}^{a} 2 d x = π = M$ 。
综上， $K > M > N$ ，选 C。A、B 所称 $M$ 最大与 $K > M$ 矛盾，D 所称 $M$ 最小与 $N < M$ 矛盾。

仍由奇偶性得 $M = π$ ，由根式在内部严格为正得 $K > π$ 。对于 $N$ ，可以直接逐点估计。基本不等式 $e^{x} \geq 1 + x$ 对所有实数成立，且仅在 $x = 0$ 取等号；除以始终为正的 $e^{x}$ ，有 $(1 + x) e^{- x} \leq 1$ ，且 $x \neq = 0$ 时严格小于。
该估计不要求 $1 + x$ 为正，因此覆盖整个积分区间。积分得 $N < π = M < K$ ，仍选 C。基本不等式可由 $h (x) = e^{x} - 1 - x$ 的导数 $h^{'} (x) = e^{x} - 1$ 在零点两侧分别为负、正，且 $h (0) = 0$ 证明。