$P\{X=0,Y=0\}=\frac{2}{3}$，$P\{X=0,Y=1\}=\frac{1}{12}$，$P\{X=1,Y=0\}=\frac{1}{6}$，$P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{12}$

${\rho }_{XY}=\frac{1}{\sqrt{15}}$

先求交集与 $B$ 的概率：$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$，又 $P(A\mid B)=\frac{1}{2}$，所以 $P(B)=\frac{1}{6}$。

于是 $P(X=1,Y=1)=P(A\cap B)=\frac{1}{12}$，$P(X=1,Y=0)=P(A)-P(A\cap B)=\frac{1}{6}$。

同理 $P(X=0,Y=1)=P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{12}$，最后 $P(X=0,Y=0)=1-P(A\cup B)=\frac{2}{3}$。

由第一问的联合分布及指示变量的定义，$EX=P(A)=\frac{1}{4}$，$EY=P(B)=\frac{1}{6}$，且 $EXY=P(A\cap B)=\frac{1}{12}$。

因此

又 $DX=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{16}$，$DY=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$，故