（1）先说明无穷远处的边界项消失。特征方程为 $r^2+ar+1=0$，根的和为 $-a<0$，积为 $1>0$。若 $a>2$，两个实根同号且和为负，因此均为负数；若 $a=2$，二重根为 $-1$；若 $0<a<2$，复根为 $-\frac{a}{2}\pm \frac{\mathrm{i}\sqrt{4-a^2}}{2}$，实部为负。
因此通解分别由负指数、一次多项式乘负指数或有界三角函数乘负指数组成，求导后仍属这些形式。指数衰减压倒多项式，故 $f(x)\to 0$、$f^{\prime }(x)\to 0$。
（2）在 $[0,A]$ 上对方程积分，得到

整理为 ${\int }_0^{A}f(x)\mathrm{d}x=n-f^{\prime }(A)+a[m-f(A)]$。令 $A\to +\infty$，右端极限存在，故反常积分收敛，且

（3）取重根情形核对：当 $a=2$ 时，由初值得 $f(x)=[m+(n+m)x]{\mathrm{e}}^{-x}$。利用 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1$ 及分部积分得到的 ${\int }_0^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1$，积分为 $m+(n+m)=2m+n$，与公式相符。