1990 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

某公司可通过电台及报纸两种形式为某种商品做销售广告。根据统计资料，销售收入

R

（万元）与电台广告费用

x_{1}

（万元）及报纸广告费用

x_{2}

（万元）之间有如下经验公式：

R = 15 + 14 x_{1} + 32 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2}

。

答案

$x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = 1, R_{m a x} = \frac{83}{2}$

$x_{1} = 0, x_{2} = \frac{3}{2}, R_{m a x} = \frac{81}{2}$

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广告费用满足 $x_{1}, x_{2} \geq 0$ 。一阶条件为

{14 - 4 x_{1} - 8 x_{2} = 0, 32 - 8 x_{1} - 20 x_{2} = 0.

解得 $x_{1} = \frac{3}{2}, x_{2} = 1$ 。

Hessian 矩阵为

(- 4 - 8 - 8 - 20),

其第一顺序主子式为负、行列式为 $16 > 0$ ，故负定；该驻点是全局唯一最大点。代入得 $R_{m a x} = \frac{83}{2}$ 万元。

预算约束为 $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}$ ，且 $0 \leq x_{1} \leq \frac{3}{2}$ 。令 $x_{2} = \frac{3}{2} - x_{1}$ ，代入收入函数得

R = \frac{81}{2} - 4 x_{1}^{2} .

该式在区间 $[0, \frac{3}{2}]$ 上于 $x_{1} = 0$ 取得最大值。因此应将 $1.5$ 万元全部用于报纸广告，即 $x_{2} = \frac{3}{2}$ ，最大销售收入为 $\frac{81}{2}$ 万元。若预算表述为不超过 $1.5$ 万元，同一点仍满足最优条件。