当 $x\to 0$ 时，$g(x)=x^2\ln (1-bx)=-b{x}^3+o(x^3)$，而 $f(x)=(1-a)x+\frac{a^3}{6}{x}^3+o(x^3)$。要与 $g$ 等价，必须先消去 $f$ 的一次项，因此 $a=1$。

此时 $f(x)=x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，所以 $\frac{f(x)}{g(x)}\to \frac{\frac{1}{6}}{-b}$。令该极限为 $1$，得到 $b=-\frac{1}{6}$，对应选项 A。