利用 $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$，有 $a_n+a_{n+2}={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{n}x{\sec }^{2}xdx=\frac{1}{n+1}$。

因此原级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1$。

令 $t=\tan x$，则 $a_n={\int }_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt\le {\int }_0^1{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}$。

对任意 $\lambda >0$，有 $0\le \frac{a_n}{n^{\lambda }}\le \frac{1}{n^{\lambda }(n+1)}\le \frac{1}{n^{1+\lambda }}$。右侧为收敛的 $p$ 级数，故题给级数收敛。