2012 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

已知

f (x) = \frac{1 + x}{sin x} - \frac{1}{x}

，记

a = x \to 0 lim f (x)

。

(1) 求 $a$ ；
(2) 若当 $x \to 0$ 时， $f (x) - a$ 是 $x^{k}$ 的同阶无穷小，求 $k$ 。

答案

第 1 问

$a = 1$

第 2 问

$k = 1$

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第 1 问

先通分， $f (x) = \frac{[ x + x ^{2} - sin x ]}{( x sin x )}$ 。由 $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ ，分子为 $x^{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ ，分母为 $x^{2} + o (x^{3})$ 。因此

a = x \to 0 lim \frac{1 + \frac{x}{6} + o ( x )}{1 + o ( x )} = 1.

第 2 问

（1）要判断 $f (x) - 1$ 的阶，需要保留极限常数之后的首项。由 $sin x = x [1 - \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2})]$ ，取倒数得

\frac{1}{sin x} = \frac{1}{x} (1 + \frac{x ^{2}}{6} + o (x^{2})) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o (x) .

（2）代回原函数， $f (x) = (1 + x) [\frac{1}{x} + \frac{x}{6} + o (x)] - \frac{1}{x} = 1 + \frac{x}{6} + o (x)$ ，其中 $\frac{x ^{2}}{6}$ 并入 $o (x)$ 。故 $\frac{[ f ( x ) - a ]}{x} \to \frac{1}{6} \neq = 0$ ，所以 $k = 1$ 。

沿用 $a = 1$ ，直接通分并因式分解：

f (x) - 1 = \frac{x + x ^{2} - sin x - x sin x}{x sin x} = \frac{( 1 + x ) ( x - sin x )}{x sin x} .

由 $x - sin x \sim \frac{x ^{3}}{6}$ 、 $x sin x \sim x^{2}$ 、 $1 + x \to 1$ ，得 $f (x) - 1 \sim \frac{x}{6}$ 。于是 $k = 1$ 。