令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。由 $0\le y\le x$ 得 $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$；由 $x^2+y^2\le 2x$ 得 $0\le r\le 2\cos \theta$。

极坐标下 $\sqrt{x^2+y^2}=r$，且 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，所以原积分为

利用 $\int {\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta =\sin \theta -\frac{1}{3}{\sin }^3\theta$，可得