函数 $g(t)=\arctan (1+t)$ 在 $0$ 连续，且 $g(0)=\frac{\pi }{4}$，所以 ${\int }_0^{u^2}g(t)\mathrm{d}t=\frac{\pi }{4}{u}^2+o(u^2)$。

再对 $u$ 积分，分子为 ${\int }_0^x[\cdots ]\mathrm{d}u=\frac{\pi }{12}{x}^3+o(x^3)$。

同时 $x(1-\cos x)=x\left(\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=\frac{x^3}{2}+o(x^3)$，故原极限为 $\frac{\frac{\pi }{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{\pi }{6}$。