把积分看作向量场 $\left(\frac{x}{x^2+y^2+z^2},0,\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}\right)$ 的外向通量。上、下底面的法向相反，而 $\frac{z^2}{(x^2+y^2+z^2)}$ 在 $z=R$ 与 $z=-R$ 取值相同，故两底面通量相消。

在侧面取 $x=R\cos \theta$、$y=R\sin \theta$，外向面积向量为 $(R\cos \theta ,R\sin \theta ,0)\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$。侧面通量为

利用 ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta =\pi$ 及 ${\int }_{-R}^R\frac{\mathrm{d}z}{R^2+z^2}=\frac{\pi }{2R}$，结果为 $\frac{{\pi }^{2}R}{2}$。