设正态总体为 $N(\mu ,{\sigma }^2)$。则 $Y_1\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{6})$、$Y_2\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{3})$，且二者由互不相交的样本组构成，因而独立。于是

对后三个观测，$S^2=\frac{1}{3-1}\sum _{i=7}^9(X_i-Y_2{)}^2$ 是通常样本方差，故 $W=\frac{2S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(2)$，并且 $Y_2$ 与 $S^2$ 独立。前六个观测又与后三个观测独立，所以 $N_0$ 与 $W$ 独立。

最后

这正是自由度为 $2$ 的 $t$ 分布的定义，故 $Z\sim t(2)$。