2004 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设

A

，

B

为随机事件，且

P (A) = \frac{1}{4}

，

P (B ∣ A) = \frac{1}{3}

，

P (A ∣ B) = \frac{1}{2}

。令

X = {1, 0, A 发生, A 不发生; Y = {1, 0, B 发生, B 不发生 .

求：

(1) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
(2) $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $ρ_{X Y}$ ；
(3) $Z = X^{2} + Y^{2}$ 的概率分布。

答案

第 1 问

$P (X = 0, Y = 0) = \frac{2}{3}, P (X = 0, Y = 1) = \frac{1}{12}, P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{6}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{12}$ ；其余取值的概率为 $0$ 。

第 2 问

$ρ_{X Y} = \frac{1}{15}$

第 3 问

$P (Z = 0) = \frac{2}{3}, P (Z = 1) = \frac{1}{4}, P (Z = 2) = \frac{1}{12}$ ；其余取值的概率为 $0$ 。

解析

第 1 问

先有 $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$ ，再由 $P (A ∣ B) = \frac{1}{2}$ 得 $P (B) = \frac{1}{6}$ 。因此 $P (A ∖ B) = \frac{1}{6}$ 、 $P (B ∖ A) = \frac{1}{12}$ ，而 $P (A^{c} \cap B^{c}) = 1 - P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ 。

联合分布为：

| $X \ Y$ | $0$ | $1$ || --- | --- | --- || $0$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{12}$ || $1$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{12}$ |

四项均非负且和为 $1$ 。

第 2 问

由第一问的联合分布，因为 $X, Y$ 是事件指示变量， $E X = \frac{1}{4}$ 、 $E Y = \frac{1}{6}$ 、 $E (X Y) = \frac{1}{12}$ ，故 $Cov (X, Y) = \frac{1}{24}$ 。

又 $Var X = \frac{3}{16}$ 、 $Var Y = \frac{5}{36}$ ，所以 $ρ_{X Y} = \frac{\frac{1}{24}}{( \frac{3}{16} ) ( \frac{5}{36} )} = \frac{1}{15}$ 。

第 3 问

由于 $X, Y \in {0, 1}$ ，有 $Z = X^{2} + Y^{2} = X + Y$ 。由第一问的联合分布， $P (Z = 0) = P (X = 0, Y = 0) = \frac{2}{3}$ ， $P (Z = 1) = P (X \neq = Y) = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ ， $P (Z = 2) = P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{12}$ 。