（1）由变限积分求导，$f^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^4}$，且$f(1)=0$。取分部积分中$u=f(x)$、$\mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$，则$v=\frac{x^3}{3}$，所以

边界项两端均为零：上端$f(1)=0$，下端$x^3=0$且$f(0)$有限。
（2）令$s=x^4$，则$x^3\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}s}{4}$，积分限仍为$0,1$。于是

由于$0<x<1$时$f(x)=-{\int }_x^1\sqrt{1+t^4}\mathrm{d}t<0$，结果为负与被积函数的符号一致。