三条边界线两两相交于 $(0,0),(2,0),(1,1)$，三角形面积为 $(\frac{1}{2})\times 2\times 1=1$。所以联合密度在三角形内为 $1$，外部为 $0$。
固定 $x$ 后，对 $y$ 积分。若 $0<x<1$，竖直截线为 $0<y<x$，故 $f_X(x)={\int }_0^{x}1dy=x$；若 $1\le x<2$，截线为 $0<y<2-x$，故 $f_X(x)=2-x$；其他 $x$ 的截线为空，可取密度为零。因此

其总积分为 ${\int }_0^{1}xdx+{\int }_1^2(2-x)dx=1$。分段点 $x=1$ 对应上边界从 $y=x$ 换为 $y=2-x$。

求条件密度先求 $Y$ 的边缘密度。固定 $0<y<1$，水平截线为 $y<x<2-y$，故

于是对 $0<y<1$，

这就是区间 $(y,2-y)$ 上的均匀密度，积分为 $\frac{[2-y-y]}{[2(1-y)]}=1$。在 $f_Y(y)=0$ 的位置，条件密度不能由比值公式确定；这里只需给出上述正密度范围内的表达式。