令 $g(x)={\ln }^{2}x$。在 $x>\mathrm{e}$ 时，$g^{\prime }(x)=\frac{2\ln x}{x}$，且 $g^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-\ln x)}{x^2}<0$，所以 $g^{\prime }$ 在 $(\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2)$ 上严格递减。

由 $a<b<{\mathrm{e}}^2$，对某个 $\xi \in (a,b)$，有 $g(b)-g(a)=g^{\prime }(\xi )(b-a)$，并且 $g^{\prime }(\xi )>g^{\prime }({\mathrm{e}}^2)=\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$。

因此 ${\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}(b-a)$，证毕。