2005 · 数学二 · 第 10 题 · 选择题

设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0}

，

f (x)

为

D

上的正值连续函数，

a, b

为常数，则

\iint_{D} \frac{a f ( x ) + b f ( y )}{f ( x ) + f ( y )}, d σ =

（　　）。

答案

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记所求积分为 $I$ 。由于区域 $D$ 关于直线 $y = x$ 对称，交换 $x, y$ 后积分值不变，因此

I = \iint_{D} \frac{a f ( y ) + b f ( x )}{f ( y ) + f ( x )} d σ .

将上述积分与原积分相加，利用正值条件保证分母处处为正，得到

2 I = \iint_{D} \frac{( a + b ) ( f ( x ) + f ( y ) )}{f ( x ) + f ( y )} d σ = (a + b) area (D) .

区域 $D$ 是半径为 $2$ 的四分之一圆盘，面积为 $π$ ，故 $I = \frac{a + b}{2} π$ 。该表达式对应选项 D。