1989 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设某厂家打算生产一批商品投放市场。已知该商品的需求函数为

P = P (x) = 10 e^{- \frac{x}{2}}

，且最大需求量为

6

，其中

x

表示需求量，

P

表示价格。

答案

$R (x) = 10 x e^{- \frac{x}{2}}, 0 \leq x \leq 6$

$R^{'} (x) = 10 e^{- \frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2})$

产量为 $2$ ，最大收益为 $\frac{20}{e}$ ，相应价格为 $\frac{10}{e}$

图像在 $0 \leq x \leq 6$ 上从 $(0, 0)$ 上升至最高点 $(2, \frac{20}{e})$ ，再下降至 $(6, 60 e^{- 3})$ ；拐点为 $(4, 40 e^{- 2})$

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收益等于销量与价格的乘积，故 $R (x) = x P (x) = 10 x e^{- \frac{x}{2}}$ 。最大需求量为 6，所以定义域为 $0 \leq x \leq 6$ 。

由乘积求导法则， $R^{'} (x) = 10 e^{- \frac{x}{2}} - 5 x e^{- \frac{x}{2}} = 10 e^{- \frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2})$ 。

因指数因子恒正， $R^{'} (x) > 0$ 当 $0 \leq x < 2$ ， $R^{'} (2) = 0$ ， $R^{'} (x) < 0$ 当 $2 < x \leq 6$ 。故 $x = 2$ 取得全局最大值。

此时 $R (2) = 20 e^{- 1} = \frac{20}{e}$ ，相应价格 $P (2) = 10 e^{- 1} = \frac{10}{e}$ 。

关键点为 $R (0) = 0$ 、极大点 $R (2) = \frac{20}{e}$ 和右端点 $R (6) = 60 e^{- 3}$ 。函数在 $[0, 2]$ 上递增，在 $[2, 6]$ 上递减。

又 $R^{''} (x) = \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} (x - 4)$ ，故图像在 $(0, 4)$ 上弯曲向下，在 $(4, 6)$ 上弯曲向上，并经过拐点 $(4, 40 e^{- 2})$ 。据此连接关键点即可得到收益函数图形。